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De l’os de loup à la métamathématique

M. Oudadess (Rabat)

I/ Les traits caractéristiques des mathématiques. Même avec une connaissance relativement élémentaire, on peut se rendre compte que les mathématiques possèdent les caractères suivants

1/ L’abstraction.
2/ La précision.
3/ La rigueur logique.
4/ L’indiscutabilité des conclusions.
5/ L’étendue des domaines d’application.
6/ La vitalité.

Nous allons examiner chacun de ces aspects et voir jusqu’à quel point il s’impose.
1/ L’abstraction est facile à reconnaitre. On parle de nombres sans référence à une collection d’objets ; de droite sans penser à un fil tendu. Bien sûr, l’abstraction n’est pas propre aux mathématiques. Mais, dans celles-ci,

  1. Tout le travail se fait à l’aide de concepts dont on étudie les interrelations ; plus qu’ailleurs.
  2. On va d’abstraction en abstraction, dans une suite croissante.
  3. Les relations sont quantitatives entre des objets ou des collections d’objets qui sont des abstractions (ou des formes pures) issues d’analyses et de généralisations à travers les générations humaines.
  4. Un théorème n’appartient aux mathématiques que s’il a été démontré à l’aide d’arguments logiques. Ceci veut dire que non seulement les concepts sont abstraits, mais également la méthode.

2/ Par la précision, on cherche à éviter la confusion, les longueurs inutiles, les arguments superflus, etc. Evidemment, elle varie d’un auteur à un autre.

3/ La rigueur est connus et recherchée, même au niveau du lycée. Cependant, elle n’est pas absolue. Elle a été en continuelle évolution. On en aura une idée ci-dessus.

4/ En ce qui concerne l’indiscutabilité des résultats, c’est l’effort ‘collectif’, à travers les âges, la répétition incessante des mêmes opérations, l’applicabilité dans la vie quotidienne, etc., qui font qu’il y ait unanimité. On va voir qu’ici aussi il n’y a pas de caractère absolu.

5/ Je ne m’attarderai pas sur l’applicabilité. Chacun en est convaincu. Je veux juste signaler l’expression ‘l’efficacité déraisonnable des mathématiques’.

6/ Il est clair que les besoins de la vie quotidienne, qui devient de plus en plus complexe, exige des mathématiques de plus en plus élaborées. Par exemple, au 16ème siècle, l’étude du mouvement a été le point central ; ce qu’on enseigne maintenant au lycée. Mais il y a aussi une vitalité interne aux mathématiques ; due, sans doute, à la curiosité innée de l’être humain. A titre d’exemples, on peut citer l’arithmétique, en particulier l’étude des grands nombres, et les géométries non euclidiennes, avant même qu’on ait un soupçon sur leur utilité pratique.

II/ La méthode déductive. Il est tout à fait naturel de se demander comment on en est arrivé à l’état actuel des mathématiques.

1/ Prémisses. Après l’acquisition du langage, ce sont, sans doute,  les dessins et le dénombrement qui dénotent une activité mathématique. On considère comme preuve matérielle de ce dernier des os de loup qui portent des entailles. Le plus ancien, l’os d’Ishango (Congo), daterait de 20 000 ans ; ces entailles sont groupées en paquet.

2/ Avant la période grecque. On distingue essentiellement deux périodes.

  1. La période babylonienne. On a retrouvé plus de 300 tablettes d’argile concernant les mathématiques. Elles contiennent, après analyse, des séries de nombres, des relations géométriques et des listes de problèmes.
  2. La période égyptienne. Il y a plusieurs documents dont, en particulier, des  papyrus. Nous parlerons seulement de celui de Rhind, du nom de son acheteur. Il est rédigé vers 1650 av. J. C., par le scribe Ahmes. Le titre en est ‘ directions pour obtenir une connaissance de tout ce qui existe et pour connaitre tous les secrets’. Il contient 85 problèmes avec solution, mais sans aucune démonstration. Il est composé d’instructions, de calculs et de directives pratiques pour la construction d’édifices ; où se mêlent aspects techniques, superstitieux ou mystico-religieux.

Le titre du papyrus sus-cité rappelle des affirmations de ce qu’on les livres jaunes, chez nous. Malheureusement, on les trouve aussi dans des livres moins jaunes ; ce qui bloque l’esprit scientifique.

3/ Thalès et Pythagore. Il semble que les premières démonstrations qui s’apparenteraient aux nôtres soient apparues avec Thalès (de Milet, non de Mégare), puis avec Pythagore et ses élèves (6eme-5eme siècle av. J. C.).  

4/ Euclide. C’est vers 300 av. J. C. qu’Euclide écrit ses éléments. Il y donne

  1. Des définitions.
  2. Une liste de choses dites communes ; ce qui correspond aux axiomes.
  3. Une liste de postulats (ou demandes).
  4. Des démonstrations.

Cependant, on y relève
(.) Des définitions circulaires. Par exemple, une ligne est une longueur sans largeur.
(.) Un oubli d’axiomes. Par exemple, celui dit de Pash i.e., une droite qui coupe un côté d’un triangle coupe aussi l’un des deux autres côtés.
(.) Un manque de précision dans le langage : Une droite est une ligne également comprise entre ses points.

Il me semble que l’explication de ces faits est que, malgré l’intention noble et audacieuse, Euclide est resté attaché au concret. Ses définitions, axiomes et démonstrations ne sont que le reflet des figures qui doivent nécessairement les accompagner.

Remarque. Il y a un fait rarement mentionné, et quand il l’est on n’insiste pas là-dessus. Les éléments ont été écrits en terre d’Afrique (Alexandrie). De l’auteur, Euclide, on ne connait pas, avec exactitude, la date de naissance, ni celle de sa mort. Pourquoi ne serait-il pas Africain ?

Il en va, de même, des nombres dits arabes. D’abord ils appartiennent à toute l’humanité. Ils ne sont pas apparus, d’un seul coup, comme une génération spontanée. Ils ont évolué, peu à peu, jusqu’à leur forme actuelle. Mais si on devait leur donner un qualificatif, ce devrait être la nord-africanité. Ce sont nos ancêtres qui les ont introduits en Europe. On les appelle, parfois, ‘Alarqam alghubaria’ mais, selon M. Chafik, ce serait ‘Alarqam alghumaria’. Mon collègue et ami D. Lamrabet, didacticien et historien des mathématiques, pourrait nous en apprendre plus.

Si j’ai fait cette remarque c’est que nous, les Nord-Africains, nous nous dépouillons de ce qui est bien à nous ; et en pouillons les autres. Nous nous mettons sous tutelle et devenons obligés de quémander afin d’avoir une certaine valeur. A ce propos, les Afro-Américains ont déjà abattu beaucoup de tâche. Il serait instructif de lire la livre ‘Stolen legacy’ (L’héritage volé), de ?????, où l’auteur déclare que la civilisation grecque ne serait que  l’héritage grec extorqué.            

5/ La méthode déductive. L’être humain, de part sa nature semble-t-il, tend vers l’absolu et la perfection. Ainsi veut-il tout définir et tout expliquer. Mais cet idéal, certes louable, n’est pas réalisable. Deux phénomènes font obstruction.

(.) La régression à l’infini. On donne une définition à l’aide de termes. Il faut ensuite définir chacun d’entre eux ; et ainsi de suite. Ce processus n’ mathématiquement pas de fin. C’est ce qu’on appelle La régression à l’infini.
(.) Le cercle vicieux. Si on veut éviter la régression à l’infini, on tombe dans  le cercle vicieux. Par exemple, on dit qu’une droite est l’intersection de deux plans et qu’un plan est déterminé par une droite et un point.

Le mathématicien est, malgré lui, contraint à un compromis qui consiste en quatre étapes.

  1. Distinguer un petit nombre de mots et d’expressions qu’on ne définit pas, ni n’explique. Ce sont ‘les non définis’ ou termes primitifs.
  2. Tout autre mot ou expression doit alors être défini et expliqué. Il s’agit là de donner des définitions.
  3. On distingue aussi des énoncés (ou des affirmations) admis comme vrais. Ce sont les énoncés primitifs ou axiomes ; on dit aussi, parfois, postulats.
  4. Tout autre énoncé sera examiné seulement à l’aide de 1/, 2/, 3/ ou d’énoncés dont la véracité aurait été à 1/, 2/ et 3/. C’est ce qu’on appelle une démonstration ou une preuve.

Cette manière de construire une théorie est dite la méthode déductive. C’est la véritable caractérisation des mathématiques.

Remarques.

  1.  La logique moderne est construite de cette manière.
  2. Toute discipline, implicitement, ne serait-ce que par le langage, présuppose une logique. Tous ses composants sont donc considérés comme des termes primitifs.
  3. La logique, quant à elle, ne présuppose aucune autre science. D’où la difficulté inhérente à son introduction.
  4. Même dans le cadre de cette méthode, qui est déjà un compromis, on est encore astreint à faire des concessions : l’idéal serait que les termes primitifs soient les plus simples possibles et les axiomes indépendants. Mais, en réalité, on se contente de beaucoup moins pour des raisons pratiques ou même esthétiques. On veut, essentiellement, éviter que l’appareil devienne lourd et malaisé à manipuler.

6/ La formalisation. La méthode déductive est très efficace.
(.) Elle permet une économie de pensée et de temps.
(.) Elle réduit les occasions d’erreur et d’obscurité.
(.) Elle ramène la critique d’une théorie au niveau des termes primitifs et des axiomes.

Afin de renforcer efficacité de cette méthode et éliminer les divergences d’origine subjective, on veut décider de la valeur (véracité ou fausseté) d’un énoncé ou d’une preuve à partir de leurs structures ; autrement dit, de leurs formes. On ne cherche pas à savoir si elles ont un sens. On obtient alors ainsi une théorie déductive formalisée.

7/ Le cinquième postulat d’Euclide. Dans sa formulation moderne ce postulat dit que


‘Par un point, non situé sur une droite, on peut mener une parallèle, à cette droite, et une seule’

Il y a, dans cet énoncé, une difficulté inhérente au concept de l’infini qui y est contenu. En effet, on parle de droite et non de segment. Personne n’ jamais tracé une droite. Euclide, lui-même, évite son emploi jusqu’à la 29ème proposition. Et, déjà dans l’antiquité, on a essayé de

  1. Changer la définition d’une parallèle.
  2. Changer la formulation du postulat.
  3. De démontrer ce postulat.

De nombreux travaux ont été réalisés à ce sujet. On trouve Proclus, un grec, déjà au 5ème siècle av. J. C. ; puis Al Khawarizmi, Nasireddin Tuzi (ou Tossi ?), Wallis, Legendre, Sacheri, Lambert et bien d’autres.
Pendant plus de 2000 ans, on a essayé de le démontrer. Mais il s’est avéré, à chaque fois, que la preuve s’appuyait sur une affirmation, aussi évidente soit-elle, qui na pouvait elle-même être démontrée. En somme, tout revenait à remplacer un axiome par un autre.
Proclus : Une droite parallèle à une autre est à une distance constante de celle-ci.
Wallis : Il existe des triangles semblables non égaux.
Sacheri : Il existe, au moins, un triangle d’aire aussi grande que l’on veut.
Legendre : Une droite perpendiculaire à un côté d’un angle coupe l’autre.
Legendre : La somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits.

Finalement, Sacheri, Lambert, Gauss, Taurinus, Bolyai et d’autres ont commencé à nier le postulat d’Euclide. Et l’on a aboutit à la première géométrie non euclidienne ; dite de Lobacevsky. On y suppose que par un point extérieur à une droite il passe, au moins, deux parallèles à celle-ci. C’est une façon de le nier, mais il y a aussi qu’il ne passe aucune parallèle ; C’est la géométrie de Riemann.
A propos de la géométrie de Lobacevsky, il y en a qui vont jusqu’à parler de révolution non euclidienne. En tout cas, l’on peut dire qu’il s’agit de la première victoire éclatante sur l’absolu.

III. Consistance, complétude et décidabilité. Ces deux concepts sont importants en théorie, mais sans conséquence en pratique.
On dit qu’une théorie déductive est consistante (ou non contradictoire), si de deux propositions contradictoires, formulées exclusivement en termes de cette théorie et de celles qui la précédent,  l’une au moins est fausse. Les deux peuvent être fausses.
On dit qu’une théorie déductive est complète si de deux propositions contradictoires, formulées exclusivement en termes de cette théorie et de celles qui la précédent, l’une au moins peut être démontrée.
La décidabilité consiste à  trouver, pour une  théorie déductive donnée, une méthode générale qui permette de juger si une proposition, formulées exclusivement en termes de cette théorie et de celles qui la précédent, peut être démontrée.

Remarques.
(.) Il n’y a que quelques théories déductives pour lesquelles on peut démontrer qu’elles sont, à la fois, consistantes et complètes. Ce sont des théories élémentaires, de structure logique simple et avec un petit nombre de concepts. Par exemple, le calcul des propositions comme théorie indépendante de la logique. Il en est de même de la géométrie euclidienne classique.
(.) On a de grosses difficultés avec la consistance de l’arithmétique et de la géométrie avancée.
(.) L’arithmétique et la géométrie avancée sont incomplètes, c'est-à-dire qu’il est possible de produire des problèmes, de caractère purement arithmétique ou géométrique, qu’on ne peut résoudre ni négativement, ni positivement, à l’intérieur ces théories.
(.) Il ne sera jamais possible de construire une théorie déductive consistante et complète, contenant comme théorèmes toutes les propositions vraies de l’arithmétique et de la géométrie avancée.
(.) Le problème de la décidabilité n’admet pas de solution positive en ce qui concerne l’arithmétique et la géométrie avancée.

IV/ Conclusion. La méthodologie (l’étude de la méthode) a beaucoup évolué. Elle est devenue elle-même une méthode déductive. Au lieu du terme trop général, on parle, maintenant, de théorie de la preuve ou métamathématique.
Enfin, j’espère vous avoir donné une idée des problèmes délicats qu’on rencontre dès qu’on s’intéresse aux fondements des mathématiques. Nous ne sommes pas, du tout, à l’abri d’une contradiction. Bourbaki n’a-il-pas dit que nous faisons des mathématiques sans illusion ? Ceci devrait nous inciter à beaucoup de modestie.

Bibliographie
[1] A. D. Alexandrov, Non Euclidian Geometry, Vol. 3, Chap. XVII, pp. 97-189 ; Mathematics, its contents, methods and meaning, Ed. A. D. Alxandrov, A. W. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, M. I. T. Press (1981).
[2] U. D’Ambrosio, The role of mathematics in building a democratic and just society ; for the learning of mathematics, Vol. 10, n0 3, pp. 20-23, (1990), FLM Publishing Association (Montréal, Canada).
[3] J. Hadamard, Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique, Bordas (discours de la m »thode), 1975.
[4] R. W. Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, Amer. Math. Monthly, Vol. 87, n0 2, (1980), 81-89.
[5] M. Kline, Les fondements des mathématiques, La recherche, n° 54, pp. 200-208, 1973.
[6] D. Lamrabet, Introduction à l’histoire des mathématiques maghrébines, Imprimerie El Maârif Al Jadida, Rabat, (1994)
[7] M. Oudadess, Le génie et le labeur, L’Appui ((Ecole Normale Supérieure, Rabat), n0 1, (1995), pp. 36-40.
[8] M. Oudadess, Exemples d’innovation en mathématiques et commentaires, Actes Table Ronde ‘La pensée scientifique entre tradition et innovation’. Pub. Fac. des Lettres et des Sciences Humaines-Rabat, Série: Colloques et séminaires n° 106, pp. 41-48, (2003).
[9] M. Oudadess, Les mathématiques et le développement, 2ième sommet africain sciences et technologies, Nouakchott, 2002.
[11] I. Toth, La révolution non euclidienne, La recherche, n° 75, pp. 143-151, 1977.
[12] P. Thuillier, Les mathématiques : fin en soi ou instrument, La recherche, n° 37, pp. 805-809, 1973.


Auteur: Oudadess
Date : 2016-07-03


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Commentaire N° : 1
Par: id Bawziki Le : 2016-07-04
Titre: Avis à la jeunesse Amazighe
Pays: France  


Mass Oudadess nous donne là une leçon gratuite sur les mathématiques. Tous les parents et les jeunes Amazighs devraient accorder un grand intérêt à ce sujet.

Une fois le "Wall Street Journal" a classé les mathématiciens au top 1 des professions les plus prestigieuses au monde bien au-dessus de toutes les autres.

Des Rois, des Présidents et des religieux etc... on en trouve autant que l'on veut, par contre des Newton et des Einstein sont beaucoup plus rares.

Il ne faut pas croire qu'Einstein par sa loi sur la relativité est arrivé au terminal des mathématiques, non il s'agit juste d'une étape, déjà contestée par Antony Hopkins le savant britannique. Il y aura plein d'autres étapes à franchir et à découvrir.

Il paraitrait que les berbères ne sont pas nuls en mathématiques en témoigne le souffle qu'ils ont donné à l'Europe à travers l'Andalousie. Si seulement 20% des Amazighs arrivent à obtenir la " Fields Medal " de mathématiques, ce peuple serait le maître du monde.



 
 
 

 
Commentaire N° : 2
Par: id Bawziki Le : 2016-07-04
Titre: Avis à la jeunesse Amazighe
Pays: France  


Mass Oudadess nous donne là une leçon gratuite sur les mathématiques. Tous les parents et les jeunes Amazighs devraient accorder un grand intérêt à ce sujet.

Une fois le "Wall Street Journal" a classé les mathématiciens au top 1 des professions les plus prestigieuses au monde bien au-dessus de toutes les autres.

Des Rois, des Présidents et des religieux etc... on en trouve autant que l'on veut, par contre des Newton et des Einstein sont beaucoup plus rares.

Il ne faut pas croire qu'Einstein par sa loi sur la relativité est arrivé au terminal des mathématiques, non il s'agit juste d'une étape, déjà contestée par Antony Hopkins le savant britannique. Il y aura plein d'autres étapes à franchir et à découvrir.

Il paraitrait que les berbères ne sont pas nuls en mathématiques en témoigne le souffle qu'ils ont donné à l'Europe à travers l'Andalousie. Si seulement 20% des Amazighs arrivent à obtenir la " Fields Medal " de mathématiques, ce peuple serait le maître du monde.



 
 
 

 
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